Quesito di calcolo delle probabilità

[wallace&gromit]

Oggi è l'epifania e, come da nostra tradizione, si mangia la corona dei re magi.
Si tratta di un pane dolce formato da una pagnotta centrale contornata da un numero variabile di pagnottelle (generalmente 8) a mo' di petali.
In una di queste pagnottelle è nascosta una figura di re magio, chi la trova diventa il re/regina di giornata.
Ora il mio quesito:
se una delle pagnottelle fosse contrassegnata da una croce sarebbe conveniente sceglierla (nell'ottica di ambire al titolo di re di giornata)?
Secondo me sì, perché il fatto di essere contrassegnata la distingue dalle altre e aumenta la probabilità che sia quella buona, infatti ci sono tre scenari:
- il panettiere ha effettivamente contrassegnato quella in cui ha messo la figura
- il panettiere ha fatto uno scherzo ed ha contrassegnato una in cui sa che non c'è nessuna figurina
- ha fatto comunque uno scherzo, ma non ha nessuna idea di quale sia la pagnottella buona

Quindi scegliendola in un caso su tre (33%) c'azzecco, in un caso mi frega e in un terzo caso la probabilità è comunque uguale alle altre (33/8=4.1%). Quindi ho il 37.1% delle possibilità al posto delle 12.5% dato da una scelta libera di una delle 8 pagnotte.

Concordate con il mio ragionamento o sbaglio qualcosa?

[Anthony47]

Ah ha, ma nella pratica sei diventato regina di giornata?
Io comunque avrei scelto quella con la x: male non fa e la x aumenta il valore della pagnottella sul mercato dei collezionisti.

Ciao!

[wallace&gromit]

Il caso reale è stato tutto diverso: la corona l'ha confezionata mia moglie senza contrassegnare nessuna pagnotta e ci ha messo una mandorla invece della figura di plastica, però nessuno in famiglia l'ha trovata!
Solo io ad un certo punto ho sentito qualcosa di lievemente più tenace ma non mi sembrava una mandorla e ho continuato a mangiare, quindi non c'è stato nessun re o regina, anarchia totale!

Ma sul quesito cose ne pensi? È valido e posso tenerlo nel cassetto per poi sfoderarlo durante qualche cenone delle festivtà di fine anno?

[wallace&gromit]

P.S. il collezionismo di corone dei re magi non mi risulta, anche perché dopo due giorni mi sa che non valgono più tanto.

[gunter]

...tieni presente che se paghi il panettiere e ti fai dire anche in quale pagnotta sta la figura le tue probabilità aumentano, arrivando addirittura al 100% se sei pure il primo a scegliere

[wallace&gromit]

ha ha, ma se già devo imbrogliare faccio prima a procurarmi una statuina supplementare, infilarmela in bocca prima di addentare la pagnotta e, se sarò stato veloce a sufficienza, la estrarrò prima dell'erede al trono legittimo, defraudandolo del titolo (cosa peraltro già successa parecchie volte nella storia!)

[gunter]

Secondo me parti da un presupposto un po' errato, cioè che l'informazione visiva di "una x su una pagnotta" ti dia una qualche indicazione sulla presenza o meno della statuina al suo interno. Per capirci, può essere che su alcune pagnotte si formi una x dovuta alla lievitazione e cottura della stessa, in questo caso non hai alcuna probabilità in più di trovare qualcosa al suo interno.
Ci sarebbe anche da fare una precisazione sul calcolo almeno credo, in quanto nel trovare le probabilità di un certo evento "tu che trovi la statuina in una pagnotta" non hai tenuto conto delle altre persone presenti. Esempio, supponiamo che la pagnotta con la x (per comodità identificativa) contenga la statuina, tu vorresti prendere quella, ma non sei abbastanza lesto e un'altra persona allunga la mano prima di te.

[wallace&gromit]

Infatti non sono ancora sicuro che il mio calcolo matematico regge, comunque si assume che io possa scegliere per primo e si assume anche che su tutta la corona appaia una sola crocetta.
Mi riallaccio a una moda che si usava una volta in certi quiz televisivi: c'erano 3 buste di cui una vincente. Il concorrente ne sceglieva una. Poi il presentatore ne scartava una (non vincente) tra le due rimaste e chiedeva al concorrente se voleva scambiare le buste. In questo caso al concorrente conveniva farlo, perché l'intervento del presentatore aveva aumentato la probabilità di vincita da 1 su 3 a 1 su 2.
Nel mio caso è un po' diverso perché non sai se il panettiere sia intervenuto in maniera "positiva" o "negativa", nonostante ciò mi chiedo se la probabilità di azzeccare scegliendo la crocetta sia aumentata (il caso che dici tu: formazione spontanea di una crocetta penso equivalga alla mia terza ipotesi, in cui nemmeno il panettiere sa se quella contrassegnata sia buona o no).

[gunter]

Non capisco perchè ad una persona sarebbe convenuto cambiare la busta una volta raggiunto il 50% di possibilità di vittoria. La vincita per entrambe le buste è del 50%, sia quella già in possesso che quella rimasta al banco.

Le tue tre ipotesi in realtà sono solo due, o la statuina c'è o non c'è all'interno della pagnotta, indipendentemente dal fatto che il panettiere sia un burlone o meno. Inserire l'ipotesi che il panettiere ti voglia tirare uno scherzo, implicherebbe un qualche valore statistico della x sulla pagnotta.
Credo che con le informazioni in tuo possesso, la probabilità che scegliendo la pagnotta con la x piuttosto che un'altra tu possa trovare la statuina, non sia più alta che prendendone una a caso senza guardare.

[wallace&gromit]

Nel caso delle buste il fattore discriminante è la consapevolezza del presentatore:
Quando il concorrente sceglie la prima busta ha 1 su 3 possibilità di vincita.
Dopo che il presentatore ha scartato una busta, sapendo che quella non è vincente, le possibilità di vincita cambiano, infatti in 2 casi su tre il presentatore aveva in mano una valida e una perdente, mentre solo in un caso su tre tu avevi già la vincente e cambiando perdi.

Per le pagnotte penso che tu possa avere ragione: visto che il panettiere non interviene più al momento della scelta bisogna rimanere alla probabilità base di 1 su 8.

[chicolocox21]

Scusa ma nel momento che restano 2 buste ogni busta ha il 50% di probabilita di essere quella vincente per cui non capisco perchè converrebbe cambiarla

[ricky53]

Ciao,
NO perché prima il concorrente ne aveva 1 su tre ed il presentatore 2 su 3 ed avendo eliminato una busta che era non vincente, lui in mano una busta con 2 su 3 possibilità di essere vincente quindi CAMBIARE la propria busta, in base alla maggiore probabilità di quella del presentatore, conviene.

[wallace&gromit]

E a proposito delle pagnotte cosa pensi Ricky?

[chicolocox21]

scusa ma non mi quadra ora sono restate 2 buste 1 vincente e una perdente
che prima le buste fossero 3 o 1000 poco importa ora hai il 50% di azzeccare quella vincente

[wallace&gromit]

Se cambi sì, se non cambi rimani alla tua probabilità iniziale che era del 33%, perché inizialmente hai scelto una busta su 3.

Se fossero state 1000 e tu ne avessi scelta 1 saresti stato quasi sicuro di avere fallito, se poi il presentatore scartasse 998 buste (sicuramente perdenti) e ti chiedesse di cambiare la tua con l'unica che rimane in mano a lui cosa faresti, rinunceresti?

[chicolocox21]

OK adesso mi hai convinto
;-)

[wallace&gromit]

chiaro che su 3 buste il rischio di perderci è molto maggiore rispetto alle 1000, con la consapevolezza oltretutto che avevi in mano quella vincente .
Con 8 pagnotte diventa più interessante (a patto che essere re di giornata sia un'onorificenza valida), però forse il caso è completamente diverso, non sono ancora convinto che il mio ragionamento regga matematicamente.